Размерность и базис линейного пространства

Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе. Определение. Система векторов называется максимальной линейно независимой системой, если она линейно независима и ее нельзя включить в большую линейно независимую систему в качестве подсистемы.

В данной статье будут затронуты сразу два раздела высшей математики, и мы посмотрим, как они уживаются в одной обёртке. Пример, конечно, некорректен с точки зрения свойств векторного пространства, но, тем не менее, никто не запрещает формализовать данные параметры вектором. Нет, я не собираюсь грузить вас теорией, линейными векторными пространствами, задача состоит в том, чтобы понять определения и теоремы.

Для освоения материала желательно ознакомиться с уроками Векторы для чайников и Как вычислить определитель? 1)Выбрать базис плоскости. Грубо говоря, у столешницы есть длина и ширина, поэтому интуитивно понятно, что для построения базиса потребуется два вектора. Это будет вектор . Улыбнитесь, вы замечательно выглядите! Будут ли ваши пальчики задавать базис на плоскости компьютерного стола? Очевидно, что нет. Коллинеарные векторы путешествуют туда-сюда по одному направлению, а у плоскости есть длина и ширина.

Есть только линейные (1-й степени) выражения и зависимости. Любой вектор плоскости единственным образом раскладывается по базису :, где – действительные числа. Числа называют координатами вектора в данном базисе. Также говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации базисных векторов. Существенным моментом определения является тот факт, что векторы взяты в определённом порядке. С базисом разобрались, но его недостаточно, чтобы задать координатную сетку и присвоить координаты каждому предмету вашего компьютерного стола. Почему недостаточно?

Размерность и базис линейного пространства

Обязаны ли координатные векторы быть единичными? Такой базис называется ортогональным. Начало координат с векторами задают координатную сетку, и любая точка плоскости, любой вектор имеют свои координаты в данном базисе. Например, или . Очевидное неудобство состоит в том, что координатные векторы в общем случае имеют различные длины, отличные от единицы.

Ориентации базисов в пространстве

И второй вопрос, на который уже на самом деле дан ответ – обязательно ли угол между базисными векторами должен равняться 90 градусам? Нет! Как гласит определение, базисные векторы должны быть лишь неколлинеарными. Проверка векторов на коллинеарность – простая и очень распространенная задача аналитической геометрии. Нередко в условии заодно требуется проверить векторы и на ортогональность (базис в таких случаях, как правило, ортонормированный).

С помощью рассмотренного материала можно устанавливать не только коллинеарность векторов, но и доказывать параллельность отрезков, прямых. Что и требовалось доказать. Это пункты для самостоятельного решения. Существует метод проверки пространственных векторов на коллинеарность и через определитель третьего порядка, данный способ освещен в статье Векторное произведение векторов.

Многие закономерности, которые мы рассмотрели на плоскости, будут справедливыми и для пространства. Сначала создадим его базис. Кто-то сейчас находится в помещении, кто-то на улице, но в любом случае нам никуда не деться от трёх измерений: ширины, длины и высоты.

Свойства систем векторов

Три вектора расположились в одной плоскости, и, грубо говоря, у нас пропало одно из измерений – высота. Определение: три вектора называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Здесь логично добавить, что если такой плоскости не существует, то и векторы будут не компланарны. Компланарные векторы всегда линейно зависимы, то есть линейно выражаются друг через друга. Для простоты снова представим, что они лежат в одной плоскости.

Конечно, координатная сетка «косая» и малоудобная, но, тем не менее, построенная система координат позволяет нам однозначно определить координаты любого вектора и координаты любой точки пространства. Аналогично плоскости, в аффинной системе координат пространства не будут работать некоторые формулы, о которых я уже упоминал.

Обращаю внимание на небольшой технический нюанс: координаты векторов можно записывать не только в столбцы, но и в строки (значение определителя от этого не изменится – см. свойства определителей). В заключение рассмотрим ещё одну типовую задачу, которая носит больше алгебраический характер и традиционно включается в курс линейной алгебры. Какой это базис – нас не интересует. Важно: координаты векторов обязательно записываем в столбцы определителя, а не в строки.

Как определить коллинеарность векторов плоскости?

Векторы, которые были рассмотрены – это не обязательно те векторы, которые можно нарисовать в пространстве, а, в первую очередь, произвольные векторы курса линейной алгебры. Для случая двумерных векторов можно сформулировать и решить аналогичную задачу – решение будет технически намного проще, и поэтому я прошёл мимо него в предыдущем параграфе. 4, 5 и более координат. Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3, взятые в определённом порядке (рис.1.32).

Базисные векторы \vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3, отложенные от одной (произвольной) точки, называются репером. 1. Базис на прямой, на плоскости, в пространстве определяется неоднозначно. Пусть \vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d} — произвольные векторы. В этом случае система векторов \vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d} также линейно зависима (см. свойство 4 в разд. 1.1.3).

Если описанный поворот виден происходящим по часовой стрелке, то базис называется левым (упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется левой тройкой) (рис. 1.33,б). Число n называется размерностью (числом измерений) линейного пространства V и обозначается \operatorname{dim}V. Другими словами, размерность пространства — это максимальное число линейно независимых векторов этого пространства.

Два вектора плоскости образуют базис, если они не коллинеарны (линейно независимы). Тогда вектор d можно разложить по этому базису, т.е. представить в виде линейной комбинации векторов \vec{a},\vec{b},\vec{c}. Другими словами, любой вектор пространства может быть разложен по базису и притом единственным образом. Если L_{k+1}\ne V, то дополняем систему \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2, \ldots,\mathbf{e}_k,\mathbf{e}_{k+1} вектором \mathbf{e}_{k+2}\notin L_{k+1} и т.д.

Также интересно: